Question

已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。

（1）写出y与x之间的函数关系式    ▲    ；

（2）若点E与点A重合，则x的值为    ▲    ；

（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）y=－x2＋4x（2）或（3）存在，当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上

【解析】【解析】
（1）y=－x2＋4x。

            （2）或。

            （3）存在。

                 过点P作PH⊥AB于点H。

则

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，

∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。

     在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。

     ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

     ∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，

  即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。

∵当时，y=，

∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。

∵当时，y=，

∴此时，点E在边AD上，符合题意。

∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。

（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，

     ∴，即。∴y=－x2＋4x。

（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。

     解得。

（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。