Question

如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，与正比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆。CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E。

（1）△CDE是    ▲    三角形；点C的坐标为    ▲    ，点D的坐标为    ▲    （用含有b的代数式表示）；

（2）b为何值时，点E在⊙O上？

（3）随着b取值逐渐增大，直线与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围。

Answer

（1）等腰直角；；。（2）时，点E在⊙O上（3）见解析

【解析】【解析】
（1）等腰直角；；。

  （2）当点E在⊙O上时，如图，连接OE。则OE=CD。

    ∵直线与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，

    ∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形。

    ∵整个图形是轴对称图形，

    ∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=450。

    ∵CE∥x轴，DE∥y轴，

    ∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形。

    ∴OE=AC=BD。

    ∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD。

    过点C作CF⊥x轴，垂足为点F。

    则△AFC∽△AOB。∴。∴。

    ∴，解得。

    ∵，∴。

    ∴当时，点E在⊙O上。

（3）当⊙O与直线相切于点G时，

     如图 ，连接OG。

     ∵整个图形是轴对称图形，

 ∴点O、E、G在对称轴上。

∴GC=GD=CD=OG=AG。∴AC=CG=GD=DB。∴AC=AB。

过点C作CH⊥x轴，垂足为点H。  则△AHC∽△AOB。

∴。∴。

∴，解得。

∵，∴。

∴当时，直线与⊙O相切；

当时，直线与⊙O相离；

当时，直线与⊙O相交。

（1）∵直线与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，

            ∴△DCE是等腰直角三角形。

            解得，或。

            ∵点C在点D的左侧，∴点C的坐标为，点D的坐标为。

（2）连接OE，过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形，可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得，代入CF、BO关于b的关系式求解即得所求。

（3）讨论直线与⊙O相切时，b的取值即可得到直线与⊙O的位置关系。

     当⊙O与直线相切于点G时，连接OG，过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形，可求得AC=CG=GD=DB，即AC=AB。由△AHC∽△AOB可求得，代入CH、BO关于b的关系式求解即得⊙O与直线相切时相应b的值。从而得到直线与⊙O相离和相交时相应b的取值范围。