Question

如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．

（1）求证：AC∥BD；

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．

（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，

tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）

Answer

（1）见解析（2）61.9°（3）会拖落到地面，理由见解析

【解析】（1）证明：证法一：∵AB．CD相交于点O，

∴∠AOC=∠BOD…1分

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD），

同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），

∴∠OAC=∠OBD，…2分

∴AC∥BD，…3分

 证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，

∴OB=OD=85cm，

∴…1分

又∵∠AOC=∠BOD

∴△AOC∽△BOD，

∴∠OAC=∠OBD；…2分

∴AC∥BD…3分

（2）【解析】
在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；…4分

∴cos∠OEF=0.471，…5分

用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分；

（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分

在Rt△OEM中，=30cm…8分，

过点A作AH⊥BD于点H，

同（1）可证：EF∥BD，

∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，

∴…9分

所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．

解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；…7分

同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分

过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中

，

AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分

所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．

（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可；

（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度数；

（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．