Question

已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求证：△ABD≌△CBE；

（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析（2）四边形BDEF是菱形，证明见解析

【解析】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD。∴∠ABD=∠CBE。

在△ABD与△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS） 。

（2）【解析】
四边形BDEF是菱形。证明如下：

由（1）△ABD≌△CBE，∴CE=AD。

∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC。

又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD。

∴四边形BDCE是菱形。

（1）由∠ABC=∠DBE，根据等量加等量和相等，得∠ABD=∠CBE，从而根据SAS即可证得结论。

（2）由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和（1）的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。