Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：四边形ABED为矩形；

（2）若AB=4， ，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。

∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。

∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。

∴四边形ABED为矩形。

（2）【解析】
∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。

∵DC=DA，∴点C在⊙D上。

∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。

∵，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。

由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。

∵k＞0，∴k=。∴CF=2EC=2。

（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。

（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案