Question

如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

Answer

（1）y=－x2＋3（2）①存在，t=1②

【解析】【解析】
（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），

  分别代入y=ax2+b，得，解得， 。

∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。                                    

（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。 

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。

在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。

∵t＞0，∴t=1 。                                   

此时，∴。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。                                 

（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。

设EF=m，则FB=3－m。

∴ ，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。 

（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。 

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

②

（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。

（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。

②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：

如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F（t，3－t2），∴EF=3－（3－t2）=t2。∴EE′=2EF=2t2。

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得。

又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t－。∴MN=3－（t－）2，

又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t2，

∴由MN≥C′N，得3－（t－ ）2≥3－2t2，即t2＋2t－3≥0。

求出t2＋2t－3=0，得，∴t2＋2t－3≥0即。

∵，∴，解得t≥。

∴t的取值范围为：