Question

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.

（1）求证：△AND≌△CBM.

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？

（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.

Answer

（1）证明见解析（2）不是菱形，理由见解析（3）2

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。

             ∴∠DAC=∠BCA。

             又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。

             ∴△AND≌△CBM（ASA）。

（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。

             又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，

             ∴FN=EM。

             又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，

           ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。

四边形MFNE不是菱形，理由如下：

由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，

∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。

∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。

（3）【解析】
∵AB=4，BC=3，∴AC=5。

           设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得

3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。

过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。

在△NHM中，NH=3，HM=1，

由勾股定理，得NM=。

∵PQ∥MN，DC∥AB，

∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。

又∵PQ=CQ，∴CQ=。

在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。

∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。

（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。

（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。

（3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。