Question

如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，

OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON

（1）求该二次函数的关系式.

（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.

（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①证明：∠ANM=∠ONM

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.

Answer

（1）（2）12（3）①证明见解析②不能，理由见解析

【解析】【解析】
（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。

                  又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。

                  ∴二次函数的关系式为，即。

            （2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。

                 ∴直线OA的解析式为。

  把代入得。∴M（4，－2）。

又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。

∴。

            （3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则

                 设A（）,

则直线OA的解析式为。

则M（），N（），H（）。

∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

∴。

∴。∴∠ANM=∠ONM。

②不能。理由如下：分三种情况讨论：

情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，

∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

情况2，若∠AON是直角，则。

∵ ，

∴。

整理，得，解得，。

∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。

情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

∵OD=4，MD=，ND=，∴。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。

（1）由二次函数图象的顶点为P（4，－4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定系数法即可求。

       （2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称性点N坐标，从而求得MN的长，从而求得△ANO的面积。

       （3）①根据正切函数定义，分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。

            ②分∠ONA是直角，∠AON是直角，∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。