Question

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；

（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠CBD=∠BA，

∴∠ABC+∠CBD=90°，

∴∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD为⊙O的切线；

（2）证明：连CE、OC，BE，如图，

∵OE=ED，∠OBD=90°，

∴BE=OE=ED，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

又∵AC∥OD，

∴∠OAC=60°，

又∵OA=OC，

∴AC=OA=OE，

∴AC∥OE且AC=OE，

∴四边形OACE是平行四边形，

而OA=OE，

∴四边形OACE是菱形；

（3）【解析】
∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠OBD=90°，

而AC∥OD，

∴∠CAF=∠DOB，

∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

∴，即，

又∵FG∥BD，

∴△AFG∽△ABD，

∴，即，

∴，

∴．

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线；

（2）连CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形；

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则，即 ，然后求FC与FG的比即可一个定值．