Question

抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer

（1）（2）P（，）（3）≤m≤5，理由见解析

【解析】【解析】
（1）由题意得：，解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）令，

∴x1= -1，x2=3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′，

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为，

设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），

∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，

∴S△BDC=S△PDC+S△PDB

，

∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；

（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴OF=1，EF=4，OC=3，

过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，

∵∠MNC=90°，

则△MNF∽△NCH，

∴，

设FN=n，则NH=3-n，

∴，

即n2-3n-m+1=0，

关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，

得m≥，

当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，

作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N为点E时，OM=5，

∴m≤5，

综上，m的变化范围为：≤m≤5．

（1）由y=-x2+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）首先令-x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．