Question

如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，

 ∵AC是切线，∴OA⊥AC。

∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，

又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。

∴CD是⊙O的切线。

（2）【解析】
过C点作CF⊥BD，垂足为F，

∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。

∴CD=CE+DE=5。

∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。

∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。

在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=CF=2。

（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。