Question

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

Answer

（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析

【解析】【解析】
（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。（3）5

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。

∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴。

∵BD=CD，∴，即。

又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6。

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，

∴AD=8。

∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48，

S△DEF=S△ABC=×48=12。

又∵•AD•BD=•AB•DH，∴。

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。  

∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。

又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=。

∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。

（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE：

 ∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD。

又∵∠MDN=∠B，∴△ADE∽ABD。

同理可得：△ADE∽△ACD。

∵∠MDN=∠C=∠B，∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC。

∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE。∴△ADE∽△DCE。

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF。

（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可