Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1），点D坐标为（3，2）（2）P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）（3）存在，（），（）

【解析】【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

        ∴，解得：。

∴抛物线解析式为。

当y=2时，，解得：x1=3，x2=0（舍去）。

∴点D坐标为（3，2）。

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：

①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）。

②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2。

代入抛物线的解析式：，解得：。

∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）。

综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）。

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。

设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，

PQ=。

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，

∴，即，解得F Q′=a﹣3

∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，

 。

此时a=，点P的坐标为（）。

②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，＜0，CQ=﹣a，（无图）

PQ=。

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。

∴△COQ′∽△Q′FP。

∴，即，解得F Q′=3﹣a。

∴OQ′=3，。

此时a=﹣，点P的坐标为（）。

综上所述，满足条件的点P坐标为（），（）。

（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标。

（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标。

（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可。