Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．

（1）求证：OF∥BD；

（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点； ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）①证明见解析②cm2

【解析】（1）证明：∵OC为半径，点C为的中点，∴OC⊥AD。

∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。

（2）①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=BD。

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴，∴FC=BD。

∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。

②【解析】
∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。

∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为。

∴（cm2）。

答：图中阴影部分（弓形）的面积为cm2。

（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。

（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；

②根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，求面积。