Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

Answer

（1）证明见解析（2）16﹣8（3）y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4），当x=2时，y有最大值，最大值为．

【解析】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=∠FED=60°，

∴∠MDB=∠NEC=120°，

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，

∴△BMD∽△CNE；

（2）过点M作MH⊥BC，

∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，

∴MH=MF，

设BD=x，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=60°，

∵∠B=30°，

∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，

∴DM=BD=x，

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，

解得：x=16﹣8，

∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；

（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，

∴BK=BC=×8=4，

∵∠B=30°，

∴AK=BK•tan∠B=4×=，

∴S△ABC=BC•AK=×8×=，

由（2）得：MD=BD=x，

∴MH=MD•sin∠MDH=x，

∴S△BDM=•x•x=x2，

∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，

∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，

∵△BMD∽△CNE，

∴S△BDM：S△CEN=（）2=，

∴S△CEN=（4﹣x）2，

∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4），

当x=2时，y有最大值，最大值为．

（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；

（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；

（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案