Question

（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？

（3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

Answer

（1）AF=BD，证明见解析（2）AF=BD仍然成立（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，证明见解析Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，证明见解析

【解析】【解析】
（1）AF=BD。证明如下：

∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）。

同理知，DC=CF，∠DCF=60°。

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。

在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，

∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）。

（2）AF=BD仍然成立。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。证明如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF。

同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD。

∴AF+BF′=BD+AD=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′。证明如下：

在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，

∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）。

又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。

（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。

（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD。

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB。

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′