Question

如图，已知AB=AC，∠BAC=120º，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，

①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，

求证：（1）AC是⊙O的切线；

     （2）四边形BOAD是菱形。

Answer

证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120º，∴∠ABC=∠C=30º。

                   ∵OB=OA，∴∠BAO=∠ABC=30º。∴∠CAO=120º-30º=90º。

                   ∴ OA⊥AC。

∵OA为⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线。

              （2）连接OD，

         ∵AD∥BC，

∴ ∠DAB=∠ABC=30º。

         ∴∠DAO=60º。

         ∵OA=OD，∴△OAD为等边三角形。

        ∴OB=OA=AD，

        又∵AD∥BC，∴ADBO为平行四边形。

        且OA=OB，∴四边形BOAD是菱形。

【解析】切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，菱形的判定。

【分析】（1）求证AC是⊙O的切线，则证OA⊥AC，很显然要运用圆的切线的判定定理。

        （2）要证四边形BOAD是菱形，先证BOAD为平行四边形，再证一组邻边相等。