Question

如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).

 （1）求二次函数的解析式：

 （2）求证：△ACB是直角三角形；

 （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】

（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，

     ， 整理得：  解得

    ∴二次函数的解析式为：，即：。                         

（2）由 整理得 ，解得。

     ∴C （－2，0），D 。

     ∴AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，

     ∴ AC2+ BC2=AB2 。∴△ACB是直角三角形。

（3）设（x<0），则PH=， HD=。

又∵AC=， BC=，

 ①当△PHD∽△ACB时有：，即：，

整理得 ，解得（舍去），此时，。

    ∴。

 ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：，

 整理  ，解得（舍去），此时，。

    ∴。

 综上所述，满足条件的点有两个即，。

【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。

【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。

（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。

（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。