Question

黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：

（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据）

（2）求∠ACD的余弦值．

Answer

【解析】
（1）连接AC，

∵AB=BC=15，∠B=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45° ，AC=15。

又∵∠D=90°，

∴。

∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12≈30+4.23+20.76≈55（千米）

面积（平方千米）。

（2）。

【解析】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15 2千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积。

（2）直接利用余弦的定义求解即可。