Question

已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）（3）没有变化，理由见解析

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）。 

（2）【解析】
∵正方形面积为3，∴AB=。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。

∴。

又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。

∴。

（3）【解析】
没有变化。理由如下：

∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。

∴。

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。

（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。

（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。

（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论