Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 如果点P

在直线y＝x－1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．

（1）判断点Ｃ(， ) 是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；

（2）若点Q (m，n)是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．

Answer

（1）是，理由见解析（2）3＜m＜5

【解析】【解析】
（1）点Ｃ(，) 是线段AB的“邻近点”。理由如下：

∵－1＝，∴点Ｃ(，)在直线y＝x－1上.。

∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，∴ AB∥x轴。

∴Ｃ(，) 到线段AB的距离是3－＝。

∵＜1，∴Ｃ(，)是线段AB的“邻近点”。

（2）∵点Q(m，n)是线段AB的“邻近点”，∴点Q(m，n)在直线y＝x－1上。

∴ n＝m－1。

① 当m≥4时， n＝m－1≥3。

又AB∥x轴，∴此时点Q(m，n)到线段AB的距离是n－3。

∴0≤n－3＜1。∴4≤m＜5。

② 当m＜4时， n＝m－1＜3。

又AB∥x轴，∴ 此时点Q(m，n)到线段AB的距离是3－n。

∴0≤3－n＜1。∴3＜m＜4。

综上所述， 3＜m＜5。

（1）验证点Ｃ(，)满足“邻近点”的条件即可。

（2）分m≥4和m＜4讨论即可