Question

已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k₁x＋b与双曲线y＝（k₂＞0）的交

点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；

（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k₂＞0）于点N．当  取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式．

Answer

（1）(3，)（2）y＝

【解析】（1）【解析】
∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2＞0）上，

∴ c＝k2＝3d 。

∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。

∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。

∴ AM＝3d。

过点B作BT⊥AM，垂足为T。

∴ BT＝2，TM＝d。

∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。

在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝。

∴点B(3，)。

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点，

∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。

∴k1＝－k2，b＝k2。

∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限，

∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b），

∴＝ ＝x2＋x＝－x2＋x。

＝

∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。

∴1≤≤.。∴ PE≥NE。

∴ ＝－1＝。

∴当x＝2时，的最大值是。

由题意，此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N(2，) 。 ∴ k2＝3。

∴此时双曲线的解析式为y＝。

（1）过点B作BT⊥AM，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y＝（k2＞0）上，得到c=3d，则A点坐标为（1，3d），在Rt△BTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。

（2）P（x，k1x＋b），求出关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得的最大值，此时根据PN＝求得NE＝，从而得到N(2，)，代入y＝即可求得k2＝3。因此求得反比例函数的解析式为y＝