Question

如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．

(1)(5分)求证：CG是⊙O的切线；

(2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．

Answer

证明见解析

【解析】证明：(1)如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900。

∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。 

∴∠CFG＝∠FCG。

又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。   

∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。

又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。

又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。

(2)∵DG＝FG，∴。

               ∵DC＝CB，∴，∴。

  又∵，∴ 。∴AF＝FC。

又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。∴OF∥BC。

（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC。

（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。