Question

(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．

    求证：AB²＝AD·AC；

(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC

于点F．，求的值；

(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD

于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表

示)，不必证明．

Answer

(1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时，的值为n2＋n；②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n；③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2。

【解析】【解析】
(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，

                     又∵ ∠A＝∠A，∴ △ADB∽△ABC 。

                     ∴ ，∴ AB2＝AD·AC。

 (2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

又∵，

∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。

又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。

∴ED＝GD＝。

由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，

∴。∴ AE＝4DE。∴。

又∵CG∥BF，∴。

(3) ①当点D在BC边上时，的值为n2＋n；

    ②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n；

    ③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2。

（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论。

（2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可。

（3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论：

①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

∴△BDE∽△CDG。∴。

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。

∴BC=（n＋1）DC，EG=ED。

由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，

∴。∴ AE＝ DE。

∴。

又∵CG∥BF，∴。

②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。

∴△BDE∽△CDH。∴ 

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。

∴BC=（n－1）DC，EH=ED。

由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，

∴。∴ AE＝ DE。

∴。

又∵CH∥BF，∴。

③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。

∴△BDE∽△CDI。∴ 

又∵，∴

∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID。

∴BC=（1－n）DC，EI=ED。

由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，

∴。∴ AE＝ DE。

∴。

又∵CI∥BF，∴。