Question

如图，二次函数y=x²﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；

（3）是否存在抛物线y=x²﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）125（3）存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形

【解析】【解析】
（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=x2﹣x+c的图象上，

∴×（﹣4）2﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12。

∴二次函数的关系式为。

（2）∵，

∴顶点M的坐标为（1，）。

∵A（﹣4，0），对称轴为x=1，∴点B的坐标为（6，0）。∴AB=6﹣（﹣4）=6+4=10。

∴S△ABM=。

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×=125。

（3）存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形。理由如下：

在y=x2﹣x+c中，令y=0，则x2﹣x+c=0，

设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0），

则x1+x2=，x1•x2=。

∴。

点M的纵坐标为：。

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，

∴，整理得，4c2+4c﹣3=0，解得c1=，c2=﹣。

又抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×c＞0，解得c＜。∴c的值为﹣。

∴存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形。

（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解。

（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据对称性求出点B的坐标，求出AB的长。根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM′=2S△ABM，计算即可得解。

（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在。