Question

如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．

（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

Answer

（1）线段AC是⊙O的切线。理由见解析（2）12

【解析】【解析】
（1）线段AC是⊙O的切线。理由如下：

∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），

∴∠BDO=∠CAD（等量代换）。

又∵OA=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠OAB（等边对等角）。

∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。

∴线段AC是⊙O的切线。

（2）设AC=x．

∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角对等边）。

∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x；

∵由（1）知，AC是⊙O的切线，

∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得x=12。

∴AC=12．

（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知

∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。所以线段AC是⊙O的切线。

（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度。