Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；

（2）在抛物线上求点P，使S_△POA=2S_△AOB；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1），（6，0）（2）P1（3+，2），P2（3﹣，2）（3）存在，Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）

【解析】【解析】
（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），

又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），

∴，解得：。

∴函数解析式为：。

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）。

（2）∵S△POA=2S△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2。

代入函数解析式得：，解得：x1=3+，x2=3﹣。

∴满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3﹣，2）。

（3）存在。

过点B作BP⊥OA，

则tan∠BOP=tan∠BAP=。

∴∠BOA=30°。

设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴，

∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，

∴OF=Q1F，即x=，解得：x=9或x=0（舍去）。

∴Q1坐标为（9，3），

根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）。

∴Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）。

（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标。

（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标。

（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标。