Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x>5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），对称轴为x=3（2）（6，4）（3）存在，N（，－3）

【解析】【解析】
（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），∴设抛物线对应的函数解析式为。

      又∵抛物线经过点A（0，4），∴，解得。

      ∴抛物线对应的函数解析式为，即。

      又∵，∴抛物线的对称轴为x=3。

（2）（6，4）。

（3）存在。△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。

    设直线AC：，则，解得。∴直线AC：。

    设过点N与直线AC平行的直线为。

    由整理得。

    ∵直线与抛物线只有一个交点，

    ∴，解得。

   ∴，解得。

当时，。∴N（，－3）。

∴在直线AC下方的抛物线上存在一点N（，－3），使△NAC的面积最大。

（1）由抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），用待定系数法可求出抛物线对应的函数解析式，化为顶点式（或用公式）可求抛物线的对称轴。

       （2）由A（0，4）和对称轴x=3知OA=4，OM=3。

            由点P为抛物线（x>5）上的一点，知PA＞PM＞2。

            ∴由以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，只能是PA=6，PM=5。由二次函数的轴对称性和勾股定理，知点P与点A关于对称轴对称。∴P（6，4）。

 （3）△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。应用一元二次方程根的判别式即可求解。