Question

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有          张．

Answer

108

【解析】【解析】
设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，

则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张

则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，

由题意得，a≤15，b≤16，

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，

故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数，

则由整除的知识，可得k可为1，2，3，

①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，

综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，

则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，

继而可确定k=3，（a+b）=18，

所以N=﹣3×18+162=108张．