Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer

【解析】
（1）如图①，

设正方形BEFG的边长为x，

则BE=FG=BG=x，

∵AB=3，BC=6，

∴AG=AB﹣BG=3﹣x，

∵GF∥BE，

∴△AGF∽△ABC，

∴，

即，

解得：x=2，

即BE=2；

（2）存在满足条件的t，

理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，

则BH=AD=2，DH=AB=3，

由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，

∵EF∥AB，

∴△MEC∽△ABC，

∴，即，

∴ME=2﹣t，

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，

过点M作MN⊥DH于N，

则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，

∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，

即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），

解得：t=，

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，

即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），

解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），

∴t=﹣3+；

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，

即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），

此方程无解，

综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，

即2：3=CE：4，

∴CE=，

∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，

∵ME=2﹣t，

∴FM=t，

当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，

②当G在AC上时，t=2，

∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，

∴FK=2﹣EK=t﹣1，

∵NL=AD=，

∴FL=t﹣，

∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；

③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，

即B′C：4=2：3，

解得：B′C=，

∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，

∴t=，

∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，

∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，

∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，

④如图⑥，当＜t≤4时，

∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），

S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．

综上所述：

当0≤t≤时，S=t2，

当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；

当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，

当＜t≤4时，S=﹣t+．

【解析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；

（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；

（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．