Question

如图，已知△中，，，，把线段沿射线方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又联结BQ与直线AC交于点D．

（1）若，求的长；

（2）设，，试求y关于x的函数解析式；

（3）当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似．

Answer

【解析】
（1）联结AQ

∵AB∥PQ      AB=PQ

∴AQ∥BP      AQ=BP

∵BP=3

∴AQ=3

∵

∴

∴

（2） ∵AB∥PQ，AQ∥BC

∴，

∵，，,，

当点P在边BC上时，

∴ ， 解得

 ， 解得

∴

当点P在边BC的延长线上时，

∴ ， 解得

 ， 解得

∴  

综上，（）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB 

又以Q、D、E为顶点的三角形与相似，

∴△ADB与相似 

∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC

∴ ∠ABD=∠ACB  

∴   即

由（2）知，

∴ 得

所以，当为4时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似．

【解析】（1）连接AQ，由平行四边形的判定定理可得出四边形ABPQ是平行四边形，进而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

（2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点P在边BC上或点P在边BC的延长线上两种情况讨论即可；

（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可求出BP的长．