Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点B，与直线OC：交于点C．

（1）若直线AB解析式为，

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）如图2，作的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（1）①由题意，  

解得所以C（4，4）  

②把代入得，，所以A点坐标为（6，0），

所以.  

（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，

∵OP平分，∴，

又OQ＝OQ，∴△POQ≌△MOQ（SAS），  

∴PQ＝MQ，∴AQ＋PQ＝AQ＋MQ，

当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ＋MQ最小.

即AQ＋PQ存在最小值.

∵AB⊥OP，所以，

∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝4，

∵△OAC的面积为6，所以，

∴AQ＋PQ存在最小值，最小值为3.

【解析】（1）点C在直线上，可知其横纵坐标相等；

       （2）根据三角形面积公式求解即可；

       （3）在OC上截取OM＝OP，连结MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ＋MQ最小.