Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y = x2－2x－3, D的坐标为（2）是直角三角形,理由见解析（3）P1（0，0），P2（9，0）

【解析】【解析】
（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. （1分）

即抛物线的解析式为．                

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 

解得.（3分）∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．  

∴ 顶点D的坐标为（4分）.（设为交点式参照给分）

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.  （5分）理由如下：

过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，

∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴ . 

∴ ， 故△BCD为直角三角形.（7分）      

（3）符合条件的点有二个：P1（0，0），P2（9，0）.

（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax2+bx+c，求出二次函数解析式即可；利用配方法直接求出顶点坐标即可；

（2）过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F;根据勾股定理的逆定理进行解答

（3）根据相似三角形的判定方法分别得出即可