Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E。

（1）求证：AB=AC      

（2）求证：DE是⊙O的切线

（3）若AB=10，∠ABC=30⁰，求DE的长

Answer

证明：（1）∵AB是⊙O的直径

                     ∴∠ADB=900

               ∴AD⊥BC，又D是BC的中点

               ∴AB=AC   

    （2）连OD，∵O、D分别是AB、BC的中点

∴OD//AC  

∴∠ODE=∠DEC=900

∴  DE是⊙O的切线      

（3）∵AB=10，∠ABC=300，∴AD=5

∵∠ABC=300

∴ ∠ODB=300，∠ADO=600，∠ADE=300

DE=5cos300=

    ∴DE的长为    

【解析】（1）利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；

（2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线．