Question

已知：直线y=x+6交x轴于A点，交y轴于C两点，经过A和原点O的抛物线y==ax²+bx(a＜0）的顶点B在直线AC上。

（1）求点A、C、B的坐标

（2）求出抛物线的函数关系式；

（3）以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并求出BD的长；

（4）若E为⊙B优弧上一动点,连结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由

Answer

∵A（-6，0），C（0，6）

∴抛物线的对称轴是直线x=3，又B在AC上

∴抛物线的顶点是  B（-3，3）

   （2）∴设又过A（-6，0）     

  把A（-6，0）代入上式得

        即        

（2）∵⊙D与⊙O关于X轴对称

∴D（-3，-3）

∴BD=6

∵AD=，AB=

∴

∴∠BAD=

     ∴AC是⊙D的切线

（3）∵∠

∠AEO=

假设在抛物线上存在一点M（x，y），使得∠MOA：∠AEO=2：3

则∠MOA=300，    则M必在直线上

         得      

∴存在这样的M，M的坐标有两个：

M    

或      

【解析】（1）根据过A、C两点的直线的解析式即可求出A，C的坐标．

（2）根据A，O的坐标即可得出抛物线的对称轴的解析式，然后将A点坐标代入抛物线中，联立上述两式即可求出抛物线的解析式．

（3）直线与圆的位置关系无非是相切与否，可连接AD，证AD是否与AC垂直即可．由于B，D关于x轴对称，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC与圆D相切．

（4）根据圆周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M点的纵坐标的绝对值和横坐标的绝对值的比为tan30°，由此可得出x，y的比例关系式，然后联立抛物线的解析式即可求出M点的坐标．（要注意的是本题要分点M在x轴上方还是下方两种情况进行求解）