Question

如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B/C不重合），设BO=X,△AOC的面积是y.

⑴求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围；

⑵以点O位圆心，BO为半径作圆O，求当○O与○A相切时，△AOC的面积.

Answer

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2 ，

由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，

作AM⊥BC，

则∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，

∵BO=x，则OC=4﹣x，

∴S△AOC=OC•AM=×（4﹣x）×2=4﹣x，

即y=4﹣x （0＜x＜4）；

（2）①作AD⊥BC于点D，

∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，

∴AD为BC边上的中线，

∴AD==2，

∴S△AOC=，

∵BO=x，△AOC的面积为y，

∴y=4﹣x（0＜x＜4），

②过O点作OE⊥AB交AB于E，

∵⊙A的半径为1，OB=x，

当两圆外切时，

∴OA=1+x，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴BE=OE=，

∴在△AEO中，AO2=AE2+OE2=（AB﹣BE）2+OE2，

∴（1+x）2=（2﹣）2+（）2，

∴x=，

∵△AOC面积=y=4﹣x，

∴△AOC面积=；

当两圆内切时，

∴OA=x﹣1，

∵AO2=AE2+OE2=（AB﹣BE）2+OE2，

∴（x﹣1）2=（2﹣）2+（）2，

∴x=，

∴△AOC面积=y=4﹣x=4﹣=，

∴△AOC面积为或．

【解析】（1）由∠BAC=90°，AB=AC=2 ，根据勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S△AOC=OC•AM，即可求得y关于x的函数解析式；

（2）由⊙O与⊙A外切或内切，即可求得ON的值，继而求得△AOC的面积．