Question

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－(2k+3) x+k²+3k+2=0的两个实数根．

(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．

(2)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer

（1）证明见解析(2)2

【解析】（1）证明：∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，

∴△＞0，

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2﹚【解析】
当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB2+AC2=BC2

又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根．

∴AB2+AC2=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，

由（AB+AC）2-2AB•AC=25

∴（2k+3）2-2•（k2+3k+2）=25

∴k2+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，

∴k1=2或k2=-5

又∵AB+AC=2k+3＞0

∴k2=-5舍去

∴k=2．

（1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，所以△＞0；

（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC2=AC2+AC2，然后根据根与系数的关系用k表示AC2+AC2，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可．