Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（1,3）B（－2,0），△AOB的外接圆M交y轴于E点，AC是直径，AD⊥OD于D。

(1﹚求证：AD·AC=AB·AO；

(2﹚求E、C两点坐标。

Answer

（1）证明见解析(2﹚E（0，4），C（-3，1）

【解析】（1）证明：如图：连接BC，AO，

∵AC是直径，

∴∠ABC=90=∠ADO，

又∵ACBO是⊙M的内接四边形，

∴∠AOD=∠C．

∴△ACB∽△AOD，

∴，

∴AD•AC=AB•AO．

（2）【解析】
如图： AD=BD=3，AB=3，

由（1）得：BC=，

过点C作CF⊥BD于F，则CF=BF=1，

∴C（-3，1）．

∵A（1，3），M是AC的中点，

∴M（-1，2）

过点M作MH⊥OE于H，则H（0，2），

∴E（0，4）．

（1）连接BC，OA，根据直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的一外角等于与它不相邻的内对角，可以判定△ABC∽△ADO，再用相似三角形对应边的比相等证明等式成立．

（2）由A，B两点的坐标可以得到△ABD是等腰直角三角形，然后用（1）中相似三角形的性质，求出BC边的长，得到点C的坐标，然后用垂径定理得到点E的坐标