Question

在如图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长	1	3	5	7	…	n（奇数）
黑色小正方形个数					…

正方形边长	2	4	6	8	…	n（偶数）
黑色小正方形个数					…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P₁，白色小正方形的个数为P₂，问是否存在偶数n，使P₂＝5P₁？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）1，5，9，13，…，则（奇数）2n-1；4，8，12，16，…，则（偶数）2n（2）存在偶数n=12使得P2=5P1

【解析】（1）1，5，9，13，…，则（奇数）2n-1；4，8，12，16，…，则（偶数）2n．

（2）由（1）可知n为偶数时P1=2n．

∴P2=n2-2n根据题意得n2-2n=5×2n，n2-12n=0，解得n=12，n=0（不合题意舍去）．

存在偶数n=12使得P2=5P1．

（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，红色小正方形的个数是对应的奇数；当n是偶数时，红色小正方形的个数是对应的偶数．

（2）分别表示偶数时P1和P2的值，然后列方程求解，进行分析．