Question

如图，在Rt△ABC中,AC=AB，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连结OA.

（1）如图1，已知BC=6,则OA=_________.

（2）如图2，若点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中始终保持AN=BM，则△OAN≌△OBM成立吗？并说明理由.

（3）如图3，若点M,N分别在线段BA.AC的延长线上移动，在移动中始终保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由.

Answer

（1）

（2）△OAN≌△OBM

理由如下：∵AC=AB，∠BAC=90°

              ∴∠B=45°

∵点O是BC的中点

∴∠NAO=45°

∴∠B=∠NAO

∵∠BAC=90°，点O是BC的中点

 ∴

            又∵AN=BM，

              ∴△OAN≌△OBM

（3）△OMN是等腰直角三角形

理由如下：∵AC=AB，AN=BM

          ∴NC=MA

          ∵∠BAO=∠ACO=45°

          ∴∠MAO=135°=∠NCO

        又∵AO=CO

          ∴△OAM≌△OCN

          ∴MO=NO, ∠MOA=∠NOC

          ∵AB=AC，点O是BC的中点

          ∴∠AOC=90°

          ∴∠MOA+∠MOC=90°

          ∴∠NOC+∠MOC=90°

              ∴△OMN是等腰直角三角形

【解析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）利用SAS判定两个三角形全等；

（3）通过证明三角形全等可得MO=NO，易得∠NOC+∠MOC=90°，所以三角形OMN是等腰直角三角形。