Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11， ）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，8）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

Answer

（1）y=（2）与⊙相交.证明见解析（3）当时，的面积最大为，点的坐标为（8，）.

【解析】（1）【解析】
设抛物线为.

∵抛物线经过点（0，8），∴.∴.

∴抛物线为.

 (2) 答：与⊙相交.

证明：当时，，.

            ∴为（6，0），为（16，0）  BC=10

.∴=BC.

设⊙与相切于点，连接，则.

∵∠ABD=∠BEC=90°   ∴AB∥CE  ∴∠ABO=∠BCO

∴≌.

∴CE=OB=6

∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为5﹤6

∴抛物线的对称轴与⊙相交.

(3) 【解析】
如图，过点作平行于轴的直线交于点.

可求出的解析式为.

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.

           ∴.

           ∵,

           ∴当时，的面积最大为

           此时，点的坐标为（8，）.

（1）已知抛物线顶点为（11， ），抛物线经过点（0，8），即可求出此二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；

（3）过点作平行于轴的直线交于点.；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．