Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1) 分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；

(2) 设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

Answer

（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

又∵AE=AD，AF=AD，

∴AE=AF．

∴四边形AEGF是正方形．

（2）【解析】
设AD=x，则AE=EG=GF=x，

∵BD=2，DC=3，

∴BE=2，CF=3．

∴BG=x﹣2，CG=x﹣3．

在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2

∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，

∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，化简得，x2﹣5x﹣6=0．

解得x1=6，x2=﹣1（舍），

所以AD=x=6．

【解析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，求出AD=x=6．