Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆D与BC相切。

（1）求证：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积。

Answer

（1）证明见解析（2）4π

【解析】（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切，

∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，

∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，

即OB⊥OC．                                      ………………………………4分

（2）设CD切⊙O1于点M，连接O1M，

则O1M⊥CD．

设⊙O1的半径为r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，

∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2O1M=2r．在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1与半圆D外切，

∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，

解得r=2，

因此⊙O1的面积为4π．                            ………………………………10分

（1）证明两个锐角的和等于90°即可；

（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．