Question

如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考：

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α。

当α=　   　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　   　。

探究一：

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=　   　度，此时点N到CD的距离是　   　。

探究二：

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转。

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的最大值。

Answer

思考：90，2；探究一：∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2探究二：（1）90°（2）120°

【解析】∵MN=8，

∴OP=4，

∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2．

故答案为：90，2；                                   ………………………………2分

探究一：

∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止。

∵MN=8，MO=4，ON=4，

∴点N到CD的距离是6﹣4=2

∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2；……………………………6分

探究二

（1）由已知得出M与P的距离为4，

∴PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，

当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，

此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；             ……………………………… 9分

（2）如图，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。     

        ……………………………12分

根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；

探究一：根据由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2；

探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值；

（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围．