Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点。

    己知函数 (m为常数)。

    （1）当=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。

Answer

（1）和（2）证明见解析（3）

【解析】（1）当=0时，该函数的零点为和。  ……………………………2分

（2）令y=0，得△=

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。

即无论取何值，该函数总有两个零点。               ………………………………6分

（3）依题意有，

由解得。

∴函数的解析式为。                    ………………………………8分

令y=0，解得

∴A()，B(4,0)

作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。   ………………………………10分

易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。

连结CB’，

则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（）                                 ………………………………12分

设直线AB’的解析式为，则

，解得

∴直线AB’的解析式为，

即AM的解析式为。                     ………………………………14分

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2﹣2mx﹣2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；

（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x﹣10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．