Question

已知抛物线y＝ax ²＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连结BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

Answer

【解析】
（1）抛物线经过，两点，

解得

抛物线的解析式为．

（2）点在抛物线上，.

∴. 或．

点D在第一象限，舍去．

点D的坐标为．

抛物线与轴的另一交点的坐标为，，

∴．

设点关于直线的对称点为点．

，

．

∴E点在轴上，且．

∴OE＝1.

． 

即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．

（3）过点作的垂线交直线于点，过点作轴于，过点作于．

∴.．

．

，，

．

. ，．

．

设直线的解析式为.

由点，点，求得直线的解析式为．

解方程组

得 （舍）

点的坐标为．

【解析】（1）由抛物线经过A（-1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）由点在抛物线上，即可求得点D的坐标，则可求得∠CBO的度数，设点关于直线的对称点为点，即可求得点的坐标；

（3）过点作的垂线交直线于点，过点作轴于，过点作于．先证得，设出直线的解析式，由点，点，根据待定系数法求得直线的解析式为，再与二次函数解析式一起组成方程组即可得到点P的坐标。