Question

如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E(1)BE与IE相等吗？为什么？(2)试说明IE是AE和DE的比例中项

Answer

(1)BE=IE，理由见解析(2)证明见解析

【解析】①BE=IE   （1分）

连接BI

∵I为△ABC内心

∴∠1=∠2

  ∠3=∠5

∵∠3=∠4  ∴∠4=∠5

∵∠BIE=∠2+∠5

∠EBI=∠1+∠4

∴∠BIE=∠EBI

∴BE=IE    （6分）

②∵∠BED=∠AEB

∠4=∠5

  ∴△BED∽△AEB

  ∴ 即 BE2=AE·ED

由①知BE=IE

∴IE2=AE·ED

∴IE是AE和DE的比例中项  （10分）

（1）利用内心的性质得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性质得出∠BIE=∠EBI，进而求出即可；

（2）利用相似三角形的性质与判定得出△BED∽△AEB，进而求出BE2=AE•ED，即可得出答案．

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