Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB为半径的⊙O的圆心在边AB上，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=8，CD=12

(1)求BC及AB的长               (2)求证DE//OC   

(3)求半径OB及线段AE的长       (4)求OC的长

Answer

（1）BE=12，AB=16（2）证明见解析（3）6,4（4）

【解析】①BE=12  （1分）

AB=16

②∠1=（用△BOC与△DOC全等 得出∠1=∠2）

  ∠4=

  ∴∠1=∠4    ∴OC∥DE (6分)

③利用△AOD∽△ACB

         OD=6    (9分)

AE=16-6×2=4   (10分)

④  （12分）

（1）根据切线长定理得到BC=CD=12；在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出AB；

（2）⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，根据切线的性质得到OB⊥BC，OD⊥AC，易证得Rt△OBC≌Rt△ODC，则∠BOC=∠DOC，再利用三角形外角性质得到∠BOD=∠ODE+∠OED，而∠ODE=∠OED，则∠OBC=∠OED，根据平行线的判定即可得到结论；

（3）易证Rt△AOD∽Rt△ACB，则OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，可得到OD=6，即可得到OB，由AE=AB-2OB可计算出AE的长；

（4）在Rt△OBC中利用勾股定理即可计算出OC的长．

A