Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠PCB=∠COB

(1)求证：PC为⊙O的切线(2)求证：BC=AB

(3)若点M是弧AB的中点，CM交AB于N，若AB=8，求MN·MC的值

Answer

(1) 、(2)证明见解析(3)32

【解析】①证∠OCP=90°  （3分）

②证得△OBC为等边三角形  BC=BO=AO  （7分）

③MN·MC=32   （12分）

（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=32

A