Question

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点.

（1）线段AF与BE有何关系？说明理由；

（2）延长AF、BC交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上？说明理由.

Answer

（1）AF=BE且AF⊥BE．

证明：∵E、F分别是AD、CD的中点，

∴AE=AD，DF=CD

∴AE=DF

又∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD

∴△ABE≌△DAF

∴AF=BE，∠AEB=∠AFD

∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD=90°

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠AGE=90°

∴AF⊥BE

（2）连接CG．

∵DF=CF，∠D=∠FCH=90°，∠AFD=∠HFC

∴△ADF≌△HCF

∴BC=AD=CH=CD，

在直角△BGH中，BC=CH，

∴GC=BH

∴CB=CG=CD=CH，

∴B，G，D，H在以C为圆心、BC长为半径的圆上．

【解析】（1）证明△ABE≌△DAF，证据全等三角形的对应边相等，以及直角三角形的两锐角互余即可证明AF相等且互相垂直；

（2）证明△ADF≌△HCF，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得B，C，D，H四点到C的距离相等，即可证得四点共圆．